Chuyên đề 7

ĐỒNG DƯ THỨC


A.Tóm tắt các kiến thức cơ bản :

I/Định nghĩa : Cho m là số nguyên dương. Hai số nguyên a và b được gọi đồng với nhau theo module m, nếu a - b chia hết cho m ( a - b )| m hay m(a - b)
Ký hiệu : a ≡ b (mod m) được gọi là một đồng dư thức.
Ví dụ : 3 ≡ - 1 (mod 4)
5 ≡ 17 (mod 6)
18 ≡ 0 (mod 6)
Điều kiện a ≡ 0 (mod m) có nghĩa là bội của a
m (a | m) hay m là ước của a ( m a) .
Nếu a - b không chia hết cho m, ta viết a ≡ b (mod m)

II/ Các tính chất cơ bản :
1) Với mọi số nguyên a, ta có a ≡ a (mod m)
2) a ≡ b (mod m) => b ≡ a (mod m)
3) a ≡ b (mod m) và b ≡ c (mod m) => a ≡ c (mod m)
*Chứng minh : Ta có : a ≡ b (mod m) => a - b
m (m (a - b)
và b ≡ c (mod m) => b - c
m (m (b - c)
Vì a - c = (a - b) + (b - c) => a - c
m (tính chất chia hết của tổng) hay
a ≡ c (mod m).
4) ) a ≡ b (mod m) và c ≡ d (mod m) => a + c ≡ b + d (mod m)
*Chứng minh :
Ta có : a ≡ b (mod m) => a - b
m => a - b = m.q1 (với q1( Z) (1)
c ≡ d (mod m) => c - d
m => c - d = m.q2 (với q2 ( Z) (2) Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được : (a - b) + (c - d) = m.(q1 + q2)
<=> (a + c) - (b + d) = m.(q1 + q2) => (a + c) - (b + d)
m
Hay a + c ≡ b + d (mod m)
Hệ quả : a1 ≡ b1 (mod m) , a2 ≡ b2 (mod m) , ... , an ≡ bn (mod m)
=> a1 + a2 + a3 + ... + an ≡ b1 + b2 + b3 + ... + bn(mod m)
5) a ≡ b (mod m) và c ≡ d (mod m) => a.c ≡ b.d (mod m)
*Chứng minh :
Ta có : a - b = m.q1 = > a = b + m.q1 (với q1( Z) (1)
c - d = m.q2 => c = d + m.q2 (với q2 ( Z) (2)
Nhân (1) và (2) vế theo vế ta được : a.c = (b + m.q1)(d + m.q2)
ac = bd + bmq2 + dmq1 + m2q1q2 <=> ac - bd = m(bq2 + dq1 + mq1q2)
=> ac - bd
m => ac ≡ bd (mod m).
Hệ quả : a) a1 ≡ b1 (mod m) , a2 ≡ b2 (mod m) , ... , an ≡ bn (mod m) => a1.a2.a3. ... .an ≡ b1.b2.b3. ... .bn(mod m)
b) a ≡ b (mod m) => an ≡ bn (mod m) - với mọi n ( N
+Nhận xét :
a) * a ≡ 1 (mod 2) và b ≡ 1 (mod 2) => a + b ≡ 2 (mod 2)
Mà 2 ≡ 0 (mod 2) => a + b ≡ 0 (mod 2)
* a ≡ 1 (mod 2) và b ≡ 1 (mod 2) => a.b ≡ 1(mod 2)
Điều này có nghĩa : Tổng của hai số lẻ là một số chẵn, tích của hai số lẻ là một số lẻ.
b)a ≡ 3 (mod 7) => a2 ≡ 9 (mod 7) ≡ 2 (mod 2)
Điều này có nghĩa : Nếu một số chia 7 dư 3 thì bình phương số đó chia 7 dư 2.
+Chú ý :
a)Không được chia hai vế của một đồng dư thức .
Ví dụ :